Геометрия вокруг нас. Мы изучили треугольники! Геометрия (наука, изучающая геометрические фигуры) Стереометрия (наука изучающая свойства фигур в пространстве) Планиметрия

Геометрия - раздел математики, изучающий пространственные отношения и формы, а также любые другие отношения и формы, сходные с пространственными.

В русском языке (как и во многих других) термин «геометрия» используется не только для соответствующей науки, но и для совокупности пространственных или аналогичных форм и свойств рассматриваемого объекта.

Современная геометрия подразделяется, как по основным объектам изучения, так и по используемым методам, на многие дисциплины, см. раздел Основные разделы геометрии, имеющие как фундаментальное, так и прикладное значение. Все их объединяет единый геометрический подход, состоящий в том, что внимание уделяется в первую очередь качественным характеристикам рассматриваемых объектов, а также в стремлении к наглядности на всех стадиях исследования, от постановки задачи, до формулировки результата. Геометрия имеет многочисленные приложения, см. раздел Место геометрии в современном мире, которые, в свою очередь, стимулируют ее развитие.

Геометрия пронизывает практически все сферы человеческой деятельности. С геометрией неразрывно связаны наши представления о красоте и гармонии, о строгом доказательстве, о безупречной логической структуре. Наконец, богатство человеческого зрения сильно увеличивает возможности анализа, позволяет обнаруживать сложные взаимосвязи, не очевидные без наглядного изображения исследуемых объектов. Вероятно, именно поэтому, решая сложную задачу, мы часто стремимся нарисовать картинку (схему, план, диаграмму). Другими словами, мы стремимся найти удачную визуализацию, построить геометрическую модель, т.е. свести задачу к геометрической.

Развитие геометрии.

Геометрия - один из древнейших видов человеческой деятельности. Ещё в доисторические времена люди изображали на стенах пещер схемы охоты, а также довольно сложные геометрические орнаменты. Позднее, с зарождением земледелия в Древнем Египте и Вавилоне, возникла необходимость делить земельные участки. По-видимому, именно тогда в геометрии стали формироваться зачатки науки: были открыты и осознаны некоторые общие закономерности и соотношения между такими геометрическими величинами как площадь и длина. Отметим, что по сути это были эмпирические факты, доказательства в те времена или отсутствовали вовсе, или находились на примитивном уровне.

Наконец, около двух с половиной тысяч лет назад, по свидетельству историков, геометрия была занесена из Египта в Грецию. Здесь геометрия не только получает свое современное название (слово «геометрия» происходит из греческого языка и означает «мерить землю»), но и постепенно складывается в стройную систему знаний, накапливаются новые факты, вырабатываются некоторые требования к доказательствам, возникают первые абстрактные понятия о геометрических фигурах и движениях. Появляются научные школы (самая известная из них - школа Пифагора ). В результате происходит качественный скачок, и геометрия становится отдельной математической наукой, утверждения которой снабжаются доказательствами. Блестящим итогом греческого периода явились «Начала» Евклида (около 300 г. до н.э.). В изложении Евклида геометрия (точнее, элементарная геометрия) предстает перед нами, практически, в современном виде, как наука о простейших пространственных формах и отношениях, развиваемая исходя из явно сформулированных основных положений — аксиом и постулатов, в строгой логической последовательности. Также в Древней Греции возникает учение о конических сечениях (Аполлоний ), зачатки тригонометрии (Гиппарх ) и др.

В эпоху Возрождения интерес к геометрии обусловлен, главным образом, практическими потребностями. Развиваются картография (Меркатор ), астрономия (Кеплер ), теория перспективы (Леонардо да Винчи , Витрувий ). Однако, принципиально новый шаг был сделан только в начале XVII века Рене Декартом (René Descartes ; Renatus Cartesius ), который в своем фундаментальном труде «Рассуждение о методе…» (1637 г.) впервые использовал в геометрических исследованиях алгебраические методы. Для этого Декарт ввел в рассмотрение системы координат и представил кривые и поверхности как множества решений (алгебраических) уравнений. С помощью своего метода Декарту удалось открыть целый ряд новых фактов, что сделало его подход очень популярным. Говоря современным языком, Декарт создал аналитическую геометрию и вплотную подошел к созданию алгебраической геометрии. Также в XVII веке Дезарг (Gérard Desargues ) и его ученик Паскаль (Blaise Pascal ) заложили основы проективной геометрии и начертательной геометрии.

Метод координат Декарта позволил связать геометрию с быстро развивавшейся в то время алгеброй и зародившимся в работах Лейбница и Ньютона математическим анализом. В результате, в XVIII веке Эйлер (Leonhard Euler ), Монж (Gaspard Monge ) и Понселе (Jean-Victor Poncelet ) изучают уже кривые и поверхности, заданные произвольными достаточно гладкими функциями (не обязательно алгебраическими). Так родилась дифференциальная геометрия, обязанная своим названием, главным образом, методам, основанным на использовании дифференциального исчисления. В этом качестве она достигает расцвета в работах Гаусса (Johann Carl Friedrich Gauß ) и Бонне (Pierre Ossian Bonnet ).

Следующий качественный скачок произошел уже в XIX веке. По-видимому, изучение поверхностей общего вида и сравнение полученных результатов с элементарной (евклидовой) геометрией привело геометров к пониманию возможности существования других, не евклидовых геометрий. Краеугольным камнем развития неевклидовых геометрий стал знаменитый «пятый постулат» Евклида, гласящий (в формулировке Прокла ), что в плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную исходной. Начиная с глубокой древности и вплоть до XVIII века, время от времени предпринимались попытки вывести это утверждение из других аксиом евклидовой геометрии. Среди математиков, обращавшихся к этой теме, были Птоломей (II век) и Прокл (V век), Ибн аль-Хайсам и Омар Хайам (XI век), Саккери и Лежандр (XVIII век). Наконец, к началу XIX века стало возникать понимание того, что возможно построить содержательную теорию без пятого постулата. Честь открытия новой геометрии принадлежит Н.И.Лобачевскому , опубликовавшему в 1829 году работу «О началах геометрии», в которой утверждается невозможность доказательства пятого постулата и существование непротиворечивой теории, основанной на противоположном утверждении. К такому же выводу независимо пришел венгерский математик Бояйи (János Bolyai ), опубликовавший свой труд в 1832 году. Позднее выяснилось, что Гаусс понял возможность существования неевклидовых геометрий несколько раньше, но не публиковал работ на эту тему. Созданная Лобачевским геометрия называется теперь геометрией Лобачевского.

Открытие Лобачевского и Бояйи стимулировало интерес к общей теории поверхностей. Становится понятно, что «воображаемая геометрия» Лобачевского реальна в искривленных пространствах. Понятие кривизны возникло в работах Гаусса по теории поверхностей в 20е годы XIX века. Гаусс изучает внутреннюю геометрию поверхности, т.е. геометрию, не зависящую от расположения поверхности в объемлющем пространстве и не меняющуюся при изгибании. Доказанная Гауссом Theorema Egregium («Блистательная Теорема») утверждает, что (гауссова) кривизна поверхности не меняется при ее изгибании. В частности, отсюда вытекает, что никакой кусок сферы не может быть уложен на плоскость без искажения расстояний, что важно, например, в картографии.

Теория поверхностей получила свое дальнейшее развитие в работах Римана (Georg Friedrich Bernhard Riemann ), который заложил основы современной многомерной римановой геометрии («многомерной теории поверхностей»). Именно в работах Римана впервые появляются такие фундаментальные понятия как многообразие, риманова метрика, тензор кривизны. Он одним из первых осознал связь метрики, кривизны пространства и физических сил, чем предвосхитил создание общей теории относительности. Риман понимал, что геометрии микромира и макромира могут существенно отличаться от евклидовой, что хорошо согласуется с современными физическими данными. Риман также активно занимался комплексным анализом. В его работах впервые построены римановы поверхности многозначных комплексных функций.

В это же время зарождается топология. Первые результаты топологического характера были получены еще в XVIII веке (например, формула Эйлера для выпуклого многогранника, эйлеровы графы). Изучение многообразий, в частности, римановых поверхностей, привело к открытию таких их свойств, как связность, ориентируемость, которые не определяются ни метрикой, ни кривизной. Соображения топологического характера использовались уже в работах Гаусса , Римана , Мебиуса , Жордана и Кантора . Однако как самостоятельная наука топология сформировалась уже в XX веке, благодаря трудам Хаусдорфа (описал важный класс топологических пространств, называющихся сегодня хаусдорфовыми), Куратовского (определил общее топологическое пространство), Пуанкаре (заложил основы теории гомотопий и гомологий, ввел в рассмотрение фундаментальную группу и числа Бетти), Александрова и Урысона (создали современную теорию размерностей и теорию компактных пространств).

Таким образом, XIX век можно охарактеризовать как век расцвета геометрии. В результате было открыто много различных геометрий, которые, активно развиваясь, казалось все дальше отходили друг от друга. Феликс Клейн в своей знаменитой Эрлангенской программе (1872 год) предложил единый алгебраический подход, который сводит геометрические исследования к описанию инвариантов заранее заданной группы преобразований многообразия. Меняя группу преобразований, мы меняем рассматриваемую геометрию. Например, с этой точки зрения, евклидова геометрия отвечает группе движений евклидова пространства, проективная геометрия - группе проективных преобразований, топология - группе гомеоморфизмов и т.д. Отметим, что за свои работы по основаниям геометрии Клейн был удостоен премии Лобачевского (1897 год).

Значительный вклад в теорию инвариантов внес Гильберт (знаменитая Теорема об инвариантах). Гильберт занимался также проблемами формализации математики в целом, в частности, он создал современную аксиоматику евклидовой геометрии (фундаментальный труд «Основания геометрии», 1899 год). Кроме того, Гильберт подвел определенный итог развития геометрии (и математики в целом) к началу XX века. Выступая на II Международном математическом конгрессе (1900 год, Париж), Гильберт сформулировал 23 проблемы, которые, по его мнению, должны были стать наиболее актуальными для математиков грядущего века. Среди них, по крайней мере шесть геометрических задач, которые действительно во многом определили направления дальнейшего развития геометрии в XX веке.

Основные направления развития и разделы геометрии XX века мы опишем в следующем разделе. Здесь мы лишь подчеркнем, что геометрия продолжала и продолжает активно развиваться и занимает одно из ведущих мест среди математических наук. В качестве иллюстрации, приведем следующие любопытные факты. Как известно, на сегодняшний день у математиков имеется два аналога Нобелевской премии - премия Филдса и премия Абеля. Филдсовская премия ведет свою историю с 1936 года. Ее первые два лауреата (1936 год) геометры: Ларс Альфорс (теория римановых поверхностей) и Джесси Дуглас (решение проблемы Плато о минимальных поверхностях). С тех пор, среди филдсовских лауреатов всегда были геометры . Премия Абеля существенно моложе, ее начали присуждать в XXI веке. Всего на 2010 год присуждено 8 абелевских премий, из них три по геометрии (Жан Пьер Серр 2003, Майкл Атья и Изадор Зингер 2004, Михаил Громов 2009) и две за геометрические методы в других науках (Питер Лакс 2005, Ленар Карлесон 2006).

Одним из аналогов списка Гильберта в XXI веке стали так называемые задачи тысячелетия (Millennium Prize Problems ), сформулированные институтом Клэя, основанным в 1998 году бизнесменом по имени Лэндон Клэй (Landon T. Clay ) и математиком Артуром Джеффи (Arthur Jaffe ) с целью пропаганды математических знаний. Из 7 задач тысячелетия три - по геометрии, а именно, гипотеза Ходжа (устройство классов когомологий проективного многообразия, реализуемых алгебраическими подмногообразиями), гипотеза Пуанкаре (о гомологической сфере, решена Г.Перельманом ), гипотеза Берча и Свиннертона-Дайера (о рациональных точках эллиптических кривых). Также к геометрическим может быть отнесена задача, касающаяся исследования полей Янга-Миллса.

Основные разделы современной геометрии.

В современной Универсальной Десятичной Классификации (http://udk-codes.net/) имеется более 50 наименований, включающих в свое название слово «геометрия». Здесь мы перечислим лишь некоторые из них, отвечающие наиболее значимым и активно развивающимся на наш взгляд разделам геометрии.

• Алгебраическая геометрия изучает решения систем уравнений вида P=0, где P - многочлен от нескольких переменных. При этом исследуются как вопросы существования таких решений, так и свойства множества всех решений. Такие множества называются алгебраическими множествами или алгебраическими многообразиями. Основное отличие алгебраической геометрии от прочих разделов геометрии заключается в том, что она, кроме прочих геометрических методов, очень сильно использует идеи и методы абстрактной алгебры, особенно таких ее подразделов как коммутативная алгебра и гомологическая алгебра. Одним из наиболее известных достижений алгебраической геометрии является доказательство Великой Теоремы Ферма.
• Аналитическая геометрия, созданная Декартом , задумывалась им как алгебраическая геометрия в современном понимании. Сегодня аналитическая геометрия представляет собой подраздел алгебраической геометрии, изучающей решения систем линейных или квадратных уравнений на плоскости и в пространстве. Таким образом, объекты аналитической геометрии - это прямые, плоскости, а также кривые и поверхности второго порядка. Задача классификации этих объектов полностью решена, однако, аналитическая геометрия не утратила своего значения. Она важна как для конкретных расчетов, так и для процесса обучения, поскольку содержит в себе основы таких важных методов, как метод координат и метод инвариантов.
• Выпуклая геометрия занимается изучением геометрии выпуклых множеств, прежде всего в евклидовых пространствах. Начиная с работ Минковского (Hermann Minkowski ) и Бруна (Hermann Brunn ) стало ясно, что свойство выпуклости позволяет строить самостоятельную теорию, без дополнительных предположений о дифференцируемости. Одним из наиболее ярких результатов выпуклой геометрии является теорема Минковского-Александрова о восстановлении выпуклого многогранника по свойствам его граней. Выпуклая геометрия имеет многочисленные приложения в оптимизационных задачах, прежде всего в выпуклом программировании и линейном программировании.
• Вычислительная геометрия занимается построением и изучением комбинаторных алгоритмов решения геометрических задач, а также геометрическим моделированием, т.е. исследованием дискретных моделей непрерывных кривых и поверхностей. К классическим результатам вычислительной геометрии относятся алгоритмы построения выпуклой оболочки, евклидового минимального остовного дерева, триангуляции Делоне, диаграммы Вороного, решения задачи о ближайших соседях, и др. Наиболее известные методы геометрического моделирования используют сплайны и кривые Безье. Вычислительная геометрия имеет многочисленные приложения, прежде всего в робототехнике, распознавании образов, машинной графике и пр.
• Геометрия банаховых и гильбертовых пространств изучает бесконечномерные аналоги нормированных и евклидовых пространств. Тесно связана с функциональным анализом, теорией меры, теорией вероятности, вариационным исчислением. Использует идеи выпуклого анализа, линейной алгебры, топологии и, конечно, теории функций. К наиболее ярким результатам относятся теорема Хана-Банаха о продолжении непрерывного линейного функционала, теорема Банаха о неподвижной точке, теорема Риса-Фреше об изоморфизме двойственного гильбертова пространства исходному.
• Геометрия групп и алгебр Ли изучает геометрию многообразий, снабженных дополнительной алгебраической структурой, а именно, структурой группы. При этом групповые операции предполагаются гладкими. Эта алгебраическая операция порождает на касательном пространстве в единице группы дополнительную алгебраическую структуру и превращает его в алгебру Ли. Названы по имени норвежского математика Софуса Ли (Marius Sophus Lie ). Простейшими примерами групп Ли являются группы преобразований, такие как, скажем, группы движений евклидова пространства или пространства Лобачевского. Богатство внутренней структуры групп Ли позволяет с одной стороны, получать глубокие нетривиальные результаты, типа теоремы классификации компактных групп Ли, а с другой стороны проводить до конца многие конкретные вычисления. Группы Ли также часто появляются в приложениях, прежде всего в механике и физике.
• Геометрия динамических систем изучает качественные (т.е. геометрические и топологические) свойства динамических систем различного вида. Примерами таких свойств динамической системы могут служить количество положений равновесия или периодических решений, их устойчивость или неустойчивость, хаотичность или регулярность поведения решений, топология инвариантных многообразий системы или всего ее фазового пространства. Обычно при качественном исследовании динамических систем они рассматриваются с точностью до некоторой эквивалентности (траекторной, топологической, гладкой, и т. п.), и задача заключается в нахождении инвариантов, соответствующих данной эквивалентности (в частности, в нахождении полного набора инвариантов, т.е. классификации систем с точностью до соответствующей эквивалентности).

• Геометрия чисел имеет дело геометрическими аспектами теории чисел. Типичной задачей геометрии чисел является расположение целочисленных векторов по отношению к выпуклым телам в многомерном пространстве. Впервые возникла в работах Минковского , доказавшего наличие целочисленной точки (целочисленного базиса) в симметричном теле достаточно большого объема. Тесно связана с функциональным анализом, диофантовыми и рациональными приближениями.
• Геометрия оптимизационных задач изучает геометрические объекты, являющиеся критическими точками тех или иных геометрических функционалов, таких как длина кривой, площадь поверхности, функционал энергии. К объектам такого типа относятся минимальные и гармонические поверхности, геодезические, экстремальные сети, минимальные заполнения и др. К наиболее ярким результатам этой теории относится решение проблемы Плато о минимальных поверхностях, доказательство существования трех замкнутых вложенных геодезических на многообразии, гомеоморфном двумерной сфере, классификация замкнутых локально минимальных сетей на поверхностях постоянной неотрицательной кривизны. Задачи такого типа имеют многочисленные приложения в физике, механике, химии, биологии, логистике, и т.п.
• Дискретная и комбинаторная геометрия объединяет геометрические задачи, в которых изучаются комбинаторные свойства дискретных геометрических объектов, таких как наборы точек, прямых, шаров и т.п. При этом, как правило, рассматриваются вопросы о взаимном расположении или об оптимальном расположении этих объектов в объемлющем пространстве. Среди наиболее известных задач такого типа задача Кеплера и Ньютона о максимальном возможном количестве сфер, касающейся данной, задача об оптимальной упаковке шаров в пространстве или в ограниченном объеме, проблема Тамма о сферическом коде. К дискретной геометрии также относят вопросы, связанные с тем или иным расположением графов в объемлющих пространствах. Сюда же можно отнести ряд задач вычислительной геометрии, связанных, например, с диаграммами Вороного, триангуляциями Делоне и пр.
• Дифференциальная геометрия изучает гладкие многообразия с теми или иными дополнительными структурами. Выделяется, прежде всего, своими методами, тесно связанными с математическим анализом, в частности, с дифференциальными свойствами функций. Развилась из классической теории кривых и поверхностей, созданной Гауссом и Монжем. Дифференциальная геометрия условно разделяется на локальную, т.е. изучающую свойства многообразия в малой окрестности точки, и глобальную (так называемую геометрию «в целом»), которая изучает связи между свойствами малых фрагментов многообразия и характеристиками всего многообразия. В некотором смысле, часть выделенных нами отдельных разделов геометрии, такие как риманова геометрия, симплектическая геометрия, можно рассматривать также как подразделы дифференциальной геометрии.
• Интегральная геометрия изучает задачи, обратные к классическому интегрированию, а именно, исследует возможность восстановления функции по набору значений ее интегралов по тем или иным подмножествам области определения исходной функции. Термин «интегральная геометрия» возник в 30е годы XX века в работах Бляшке и первоначально означал совсем другое: вычисление интегралов от функций по тем или иным подмножествам многообразий или, более общо, пространств с мерой. Современная интегральная геометрия тесно связана с теорией однородных пространств, теорией расслоенных пространств, теорией представлений, теорией меры. Имеет многочисленные приложения, например, в компьютерной томографии.
• Комплексная геометрия изучает геометрию многообразий с комплексной структурой. Ее начальная ветвь - теория римановых поверхностей, созданная Риманом и изучающая свойства одномерных комплексных многообразий. Для комплексной геометрии характерны тесные связи с комплексным анализом и алгеброй. В последнее время обнаружились тесные связи комплексной геометрии (в частности, геометрии пространств Тейхмюллера ) с современной теоретической физикой.
• Компьютерная геометрия занимается общим компьютерным моделированием, связанным с визуализацией геометрических моделей. Компьютерная геометрия включает в себя вычислительную геометрию, однако, не ограничивается ей. В рамках компьютерной геометрии создаются модели таких сложных объектов, как многообразия, неевклидовы геометрии, геодезический поток на поверхности, множество решений дифференциального уравнения и др. Компьютерная геометрия дает современному исследователю мощный инструмент для проведения разнообразных компьютерных экспериментов, в результате которых формируются или отвергаются те или иные гипотезы.
• Метрическая геометрия изучает геометрию классических объектов, таких как кривые и поверхности, с точки зрения естественно определенной на них функции расстояния. При этом свойства, определенные в дифференциальных терминах, такие как кривизна, получают интерпретацию в терминах некоторых соотношений на функцию расстояния. В результате, с одной стороны, удается перенести многие результаты дифференциальной геометрии на случай существенно более общих объектов без предположений о гладкости, что позволяет во многих случаях добиться полноты пространств рассматриваемых объектов. Как следствие, возникают неожиданные связи между далекими, на первый взгляд, математическими объектами. Например, свойства конечно порожденной дискретной группы удается описать в терминах геометрии пространства с так называемой манхеттенской метрикой (Громов ). С другой стороны, такая интерпретация позволяет переосмыслить дифференциально-геометрические результаты, продвинуться в понимании таких сложных объектов как, скажем, тензор кривизны.
• Начертательная геометрия изучает пространственные фигуры с помощью их нескольких ортогональных проекций. Возникла в инженерном деле как основной инструмент для построения и чтения чертежей. Основы начертательной геометрии были заложены Монжем , преподававшим тогда в инженерной школе и выполнявшим заказ на расчет крепостных сооружений. В последнее время, в связи с развитием автоматизированных систем проектирования, роль начертательной геометрии все больше сводится к чисто образовательной.
• Некоммутативная геометрия изучает свойства некоммутативных аналогов алгебр функций на тех или иных классах пространств. Отправной точкой, которая вызвала эту идею к жизни, служит теорема Гельфанда-Наймарка, доказанная в начале 1940х годов, об эквивалентности категории компактных топологических пространств и коммутативных C * -алгебр. Оказалось, что возникающие здесь алгебраические структуры остаются содержательными и после отказа от свойства коммутативности. В рамках некоммутативной геометрии объединились методы из различных отделов современной математики: топологии, дифференциальной геометрии, функционального анализа, теории меры, теории представлений и некоторых других. Идея некоммутативного обобщения является фундаментальной, поскольку, благодаря ей, не только оказались решены многие важнейшие задачи, но и упомянутые выше области взаимно обогатились новыми методами и результатами. Термин «некоммутативная геометрия», по всей видимости, возник благодаря монографии А.Конна «Некоммутативная геометрия».
• Риманова и финслерова геометрия изучает многообразия, на которых задана дополнительная структура, позволяющая вычислять длины касательных векторов. Основными примерами таких структур являются риманова и псевдориманова метрики (гладко зависящие от точки многообразия невырожденные симметричные билинейные формы на касательных пространствах) и финслерова структура (гладко зависящее от точки многообразия семейство норм на касательных пространствах, обладающее рядом дополнительных свойств). Основы римановой геометрии были заложены Риманом , который обобщил теорию поверхностей на многомерный случай, перенеся на него классические результаты Гаусса , Бонне и др. В рамках римановой геометрии удается получать ограничения на глобальную структуру многообразий в терминах его локальных характеристик, аналогичных кривизне двумерной поверхности (секционная кривизна, кривизна Риччи, кривизна Римана).
• Симплектическая геометрия изучает симплектические многообразия, т.е. многообразия, на которых задана замкнутая невырожденная 2-форма (симплектическая структура). Фактически, симплектическая геометрия как отдельный раздел геометрии возникла около 200 лет назад в качестве удобного языка для задач классической механики. И сейчас одним из основных стимулов изучения симплектических многообразий является то, что их естественно рассматривать как фазовые пространства динамических систем, описывающих различные задачи механики, математической физики, геометрии. Однако начиная с 1970х-80х годов (после работ В.И.Арнольда , А.Вайнштейна (A.Weinstein), М.Л.Громова ) симплектическая геометрия превратилась в отдельную независимую область математики, развитие которой стимулируется тесными связями с математической физикой, маломерной топологией, теорией динамических систем, алгебраической геометрией, комплексным анализом.
• Стохастическая геометрия является разделом стохастического анализа. Она изучает случайные процессы в бесконечномерных гильбертовых пространствах и на гладких гильбертовых многообразиях, описываемые стохастическими уравнениями Ито. Исследуются свойства гладкости переходных вероятностей таких процессов, вводится конструкция квазиинвариантных мер на бесконечномерных группах Ли. Основы стохастической дифференциальной геометрии заложены Ю.Л.Далецким и Я.И.Белопольской в 70-х годах XX века
• Фрактальная геометрия изучает так называемые фракталы (самоподобные множества). Первые примеры таких множеств с необычными свойствами появились в XIX веке (например, множество Кантора). Термин «фрактал» был введён Б.Мандельбротом в 1975 году и получил широкую популярность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы». Однако «фрактал» (лат.fractus — дробленый, сломанный, разбитый) не является математическим термином и не имеет общепринятого строгого математического определения. Фракталом называется сложная геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком. В более широком смысле, под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа ), либо метрическую размерность, строго большую топологической. В современной фрактальной геометрии изучаются также случайные фракталы. Фрактальная геометрия имеет глубокие связи с теорией чисел и современной физикой

Все эти очень разные области знания объединяют геометрические методы .

Геометрические методы исследования.

Важнейшей особенностью геометрических объектов является их инвариантность (независимость от системы координат). В этом отношении геометрия формирует особую, характерную для нее картину мира, основанную в первую очередь не на формулах и вычислениях, а на качественном анализе; для такой картины характерно сочетание полной математической строгости с широким использованием интуиции. Перечислим некоторые, на наш взгляд фундаментальные, методы исследования геометрических объектов.

• Определение и описание свойств пространства однородных объектов (точек), снабженное той или иной дополнительной структурой. Например, описание геометрии евклидовых пространств, регулярных поверхностей, гладких многообразий (в частности, многообразий с различными структурами - римановой, псевдоримановой, комплексной, алгебраической, симплектической, контактной, финслеровой келеровой и т.д.), гильбертовых пространств, групп Ли, общих топологических пространств, клеточных комплексов и др.
• Один из центральных методов геометрии (и математики вообще) - метод координатизации. Для исследования геометрического объекта вводится система координат, позволяющая описывать его свойства при помощи аналитического или алгебраического аппарата. Сами термины «аналитическая геометрия», «дифференциальная геометрия», «алгебраическая геометрия», «симплектическая геометрия» связаны, в частности, с теми вариантами метода координат, которые применяются в этих разделах геометрии. При таком подходе наличие различных геометрических структур отражается в различных классах координатных систем и замен координат (скажем, в симплектической геометрии рассматриваются симплектические координаты и канонические преобразования, в комплексной геометрии - аналитические координаты и голоморфные замены и т.д.). Поскольку сами геометрические объекты по своей сути инвариантны, важная часть координатного метода состоит в описании того, как меняются те или иные формулы при заменах координат.
• Важнейшая характеристика геометрического объекта - набор его «симметрий», т.е. группа преобразований, сохраняющая его свойства. Так, с евклидовым пространством связана группа ортогональных операторов, с гладким многообразием - группа диффеоморфизмов, с римановым многообразием - группа изометрий и т.д. Изучение группы преобразований позволяет получать важную информацию о самом объекте; например, при изучении однородных пространств свойства группы преобразований играют ключевую роль.
• Метрический подход в геометрии связан с введением аналога расстояния между точками и исследовании свойств этого расстояния (общая теория метрических пространств, геометрия банаховых пространств и свойства операторов в них, полунормы и пространства Фреше и т.д.).
• Аксиоматический метод применяется в геометрии с о времен ее возникновения. Он состоит в том, что геометрические структуры описываются при помощи списка аксиом, из которых впоследствии выводятся остальные свойства. Например, евклидова геометрия определяется в линейном пространстве (т.е. множестве с операциями сложения и умножения на число, которые удовлетворяют определенному набору аксиом) со скалярным произведением (функцией от пары векторов, также удовлетворяющей некоторым аксиомам). Другой пример: аффинная связность на многообразии определяется как операция дифференцирования векторных полей, удовлетворяющее аксиомам линейности и правилу Лейбница.
• В последние десятилетия активно развивается компьютерное геометрическое моделирование. Разработано много программ, позволяющих визуализировать геометрические объекты, возникающие при моделировании самых разных процессов, наглядно демонстрировать их свойства и ставить компьютерные эксперименты с целью проверки математических, физических, биологических, экономических и других гипотез. Более того, компьютерное моделирование используется и для доказательств математических теорем (впрочем, такие доказательства неизменно вызывают сомнения у многих математиков); известные примеры - доказательство Аппелем и Хакеном в 1976 году гипотезы о четырех красках и доказательство в 1989 году Лэмом несуществования конечной проективной плоскости 10-го порядка.

Место геометрии в современном мире.

Математика. Геометрический взгляд на мир пронизывает всю современную математику; в большинстве ее разделов используется геометрический язык и применяются геометрические методы. Часто проникновение геометрических идей приводит к созданию новых теорий, постановке новых задач и к неожиданным результатам: в частности, геометрические идеи в теории обыкновенных дифференциальных уравнений привели к созданию качественной теории и теории динамических систем; в теории уравнений в частных производных - к микролокальному анализу, теории нестандартных характеристик, теории солитонов и полей Янга-Миллса; в вариационном исчислении - к геометрическим вариационным задачам, теории геодезических потоков.

Естественные науки. Современная физика теснейшим образом связана с геометрией. Классическая механика использует язык, методы и результаты римановой и симплектической геометрии, оптика и термодинамика - симплектической и контактной геометрии, в квантовой механике используется комплексная геометрия, симплектическая геометрия и геометрия гильбертовых пространств, в квантовой теории поля - дифференциальная, комплексная, алгебраическая и симплектическая геометрия. Практически во всех разделах теоретической физики так или иначе встречаются геометрические идеи, методы или конструкции. Отметим, что физические идеи, в свою очередь, проявляются в геометрии; часто анализ физических теорий давал толчок развитию геометрических конструкций (например, симплектическая и контактная геометрия напрямую связаны с физикой).

География всегда использовала геометрический язык; в частности, идея описания поверхности с помощью карт и координат тесно связывает эти науки. Сферическая геометрия используется при разработке маршрутов кораблей и самолетов.

Геометрия применяется в химии и молекулярной биологии; сложные соединения (например, белки) обладают богатой геометрической структурой, которая, как оказалось, существенно влияет на химические и биологические свойства рассматриваемого вещества; геометрия применяется также при описании энергетических и квантовых свойств молекул.

Техника. Современная техника активно использует геометрические методы и результаты. Компьютерная геометрия применяется при проектировании автомобилей, самолетов, мостов и многих других технических объектов; геометрические задачи возникают при огранке драгоценных камней, в вопросах мобильной навигации и т.д. Широко применяются геометрические методы распознавания образов, также современные шифры и коды зачастую основаны на алгебраических свойствах эллиптических кривых.

Медицина. Задача восстановления картины внутренних органов по их проекциям, видным на снимках (медицинская томография) имеет геометрический характер и связана с интегральной геометрией (описанием свойств функции на многообразии по интегралам от нее по заданным семействам подмногообразий). В медицине применяются геометрические модели различных частей скелета (например, движущейся челюсти при протезировании зубов, коленных и локтевых суставов и др.). Развитие современных 3D технологий сделало возможным создание индивидуальных протезов костей, созданных по результатам 3D-сканирования пациента. Также большую роль в современной медицине играют компьютерные модели отдельных органов и их систем. Например, при разработке серьезных операций на сердце часто используется его геометрическая компьютерная модель.

Искусство. Геометрические образы издавна использовались в изобразительном искусстве и архитектуре. Геометрическая наука о перспективе встречается у Эсхила и Демокрита (хотя, конечно, ее элементы использовались гораздо раньше - например, при строительстве египетских храмов и пирамид). В дальнейшем этот раздел геометрии развивался многими художниками и учеными (в частности, большой вклад в его развитие внесли Леонардо да Винчи , Дюрер , Дезарг , Монж и другие). Сейчас геометрия перспективы и начертательная геометрия - стандартные инструменты художников, архитекторов и дизайнеров. Скажем, крыша аэровокзала в Шарм-аль-Шейхе (Египет) представляет собой модель минимальной поверхности. Геометрия важна и в музыке: форма музыкального инструмента, концертного зала, храма - это результат тонких геометрических и акустических расчетов. Наконец, 3D технологии, в основе которых лежит проективная и вычислительная геометрия, все чаще используется в кино и телевидении, поднимая их на следующую ступень развития.

Гуманитарные науки. Геометрия применяется и в гуманитарных науках: экономике (транспортные задачи, задачи оптимизации, геометрические модели производства, применение свойств непрерывных отображений к нахождению экономического равновесия); лингвистике (геометрия пространств слов) и др.

Религия. Сакральная геометрия - система религиозных представлений о формах и пространстве мира, отражающих его пропорциональность и гармонию - присутствует в большинстве мировых религий. Она проявляется в священной архитектуре, живописи и музыке, в иконографии. Геометрические формы используются практически всеми религиями как священные символы.

Образование. В современном школьном образовании геометрия играет исключительную роль. Именно на уроках геометрии дети узнают, что такое строгое доказательство, учатся логически мыслить и получать из предпосылок обоснованные выводы. Вместе с тем школьная геометрия демонстрирует наглядную (т.е. инвариантную) математику, основанную не столько на формулах, сколько на детальном изучении качественных свойств геометрических объектов. Такое соединение строгости с наглядностью лежит в основе естественно-научной картины мира; тем самым, изучение геометрии - важнейший этап во всем научном образовании. , пер. с нем., М.- Л., 1937.

Цель: Добиться умения правильно, последовательно, рационально излагать свои мысли, расширить кругозор учащихся, повысить уровень их математической культуры, развивать логическое мышление, личностные качества учащихся, умение делать выводы и обобщения.

Оборудование:

• Компьютерная презентация Приложение 1 .
• Игровое поле (2 штуки)– раздаточный материал. Приложение 2 .

Эпиграф: “Математика – всего лишь игра, в которую играют согласно простым правилам и пользуются при этом ничего не значащими обозначениями”.. (Гильберт )

Ход мероприятия

1. Вступительная часть – 3 мин.

Ведущий I. “Математика – всего лишь игра, в которую играют согласно простым правилам и пользуются при этом ничего не значащими обозначениями”. Это слова великого немецкого математика Давида Гильберта… Сегодня мы играем в “морской бой!” (Далее следует представление команд, членов жюри, приветствие команд. )

2. Сообщение правил игры – 2 мин.

Ведущий ІІ. Послушайте правила игры. Главная цель – “потопить” корабли противника путём прямого попадания в цель и при этом заработать как можно больше очков. У каждой команды свое игровое поле. (Слайд) Координаты каждой клетки поля размечены цифрами и русскими буквами. Следует отметить, что такие же изображения двух полей находятся на столах у команд. Каждая из команд предварительно сама расположила свои корабли так, как ей захотелось, но расположение кораблей противников ей неизвестно. На каждом игровом поле размещены “корабли”: четырёхпалубный, трёхпалубный, двухпалубный и однопалубный. Команды по очереди называют координаты любой из клеточек таблицы. Если под ней окажется одна из палуб корабля, то команде предоставляется возможность ответить на вопрос, соответствующий этой клеточке и заработать одно очко.

Ведущий І. Ответив на вопрос, команда получает право на следующий выстрел. Если команда не попадает в цель или неправильно отвечает на вопрос, то право на следующий выстрел предоставляется другой команде. Если выстрел пришёлся в клетку, не занятую ни одним кораблём противника, то команда получает ответ “Мимо!” и, стрелявшие ставят на чужом квадрате в этом месте точку.

Ведущий ІІ. Игра считается оконченной, если на поле одной из команд не осталось нераскрытым ни одного корабля, т.е. будут подбиты все 10 палуб кораблей, при этом побеждает команда, набравшая больше очков.

Хотелось бы заметить, что различным кораблям соответствуют различные задания. Так, чтобы получить очки за 4-палубный корабль, нужно угадать правильный ответ, выбрав один вариант из четырех предложенных, трехпалубный корабль содержит вопросы, связанные с историей математики, двухпалубный корабль – задачи на логику, а решая пример, можно заработать очки за однопалубный корабль. (Приложение 3 )

3. Розыгрыш права первого выстрела – 5 мин.

Ведущий І. Прежде, чем приступить к игре, разыграем право первого выстрела. Каждая команда за 1 минуту должна дать наибольшее число верных ответов. За каждый верный ответ присуждается 1 балл. Та команда, которая получит больше баллов, получает возможность первой начать игру. Если на какой-то вопрос вы не знаете ответ, то отвечайте: “Дальше!”

Вопросы первой команде.

1. Как называют функцию, для которой справедливо равенство f(-х)= – f(х)? (Нечетная)
2. Это можно провести через две точки. Это – график линейной функции. (Прямая)
3. Кому принадлежат слова “Математика ум в порядок приводит”? (Ломоносов)
4. В каких четвертях cos ? положителен? (І, ІV)
5. Корень кубический из 64. (4)
6. Двое играли в шахматы 2 часа. Сколько времени играл каждый? (2 часа)
7. Как можно назвать треугольник со сторонами 3, 4, 5? (Египетский)
8. На какое число нужно разделить 2, чтобы получилось 4? (1/2)
9. Сотая часть числа. (%)
10. Какой угол опишет часовая стрелка за 2 часа? (60°)
11. Что означает “трапеция” по древнегречески? (Столик)
12. Наука, изучающая свойства фигур в пространстве. (Стереометрия)
13. Название первой координаты точки. (абсцисса)
14. Во сколько раз километр длиннее миллиметра? (1 млн.)
15. Дробь, меньшая единицы. (правильная)

Вопросы второй команде.

1. Как называют функцию, для которой справедливо равенство f(-х)= f(х)? (четная)
2. Кто из древних математиков был первым олимпийским чемпионом по кулачному бою? (Пифагор)
3. Как называется треугольник с двумя равными сторонами? (равнобедренный)
4. Петух, стоя на одной ноге весит 5 кг. Сколько он будет весить, на 2 ногах? (5 кг)
5. Являются ли диагонали прямоугольника взаимно перпендикулярными? (нет)
6. 2 в квадрате 4, 3 в квадрате 9. Чему равен угол в квадрате? (90°)
7. Наука, изучающая свойства фигур на плоскости. (планиметрия)
8. Утверждение, принимаемое без доказательства. (аксиома)
9. Сколько получится десятков при умножении 2-х десятков на 3 десятка? (60 десятков)
10. Что есть общего у равнобедренного треугольника и степени?. (основание)
11. Назовите число, которое делится без остатка на любое число. (0)
12. Отрезок, соединяющий 2 любые точки окружности. (хорда)
13. Что означает по древнегречески “гипотенуза”? (тетива)
14. График обратной пропорциональности. (гипербола)
15. Сколько нечетных чисел расположено между 16 и 28? (6)

4. Морской бой – 26–35 мин.

Команды поочередно стреляют, если попадают в одну из палуб корабля, то появляется слайд с соответствующим заданием. Ведущие дают необходимые комментарии.

Вопросы на угадывание правильного ответа: (8 шт.) (8 минут)

Ведущий І. Чтобы получить очки за четырехпалубный корабль, нужно ответить на 4 коварных вопроса, выбрав ответ из четырех предложенных. Ответить на них может только тот, кто хоть немного знаком с историей математики, или используя логику. На обдумывание ответа дается одна минута. (Слайды)

1. Этот математический термин в переводе с греческого означает “струна”.

А) Хорда.
В) Прямая.
С) Отрезок.
D) Луч.

2. Что означает слово “конус” в переводе с греческого?

А) Круглая пирамида.
В) Крыша.
С) Сосновая шишка.
D) Высокий колпак.

3. Где математик С.В. Ковалевская получила высшее образование?

А) В России.
В) В Швейцарии.
С) В Германии.
D) В Англии.

4. Десятина – это мера:

А) Веса.
В) Площади.
С) Длины.
D) Объема.

5. График прямой пропорциональности.

А) Парабола.
В) Гипербола.
С) Прямая.
D) Кривая.

6. Кто был создателем первой вычислительной машины?

А) Б. Паскаль.
В) Р. Декарт.
С) Пифагор.
D) К. Гаусс.

7. Французский ученый, который изобрел метод координат.

А) Р.Декарт.
В) Л. Эйлер.
С) Б. Паскаль.
D) Фалес.

8. Это название происходит от двух латинских слов “дважды” и “секу”. О чем идет речь?

А) О равнобедренном треугольнике.
В) О прямоугольнике.
С) О параллельных прямых.
D) О биссектрисе.

Вопросы по истории математики: (6 шт.) (6 минут)

Ведущий І. Для того, чтобы подбить трехпалубный корабль необходимо ответить на вопросы, связанные с историей математики.Математика – одна из древнейших наук. История ее богата именами, идеями и событиями, замечательными, а иногда и великими, открытиями. История математики помогает глубже понять идеи, заложенные в самой математике. Именно поэтому мы и решили в игре вспомнить тех, кто стоял у истоков математики. В этом конкурсе нужно по словесной характеристике назвать фамилию математика. (Слайды)

Вопрос 1: Он считается одним из первых геометров. Политик, физик, крупнейший астроном своего времени. Ему принадлежит открытие продолжительности года и разделение его на 365 дней. Он первым открыл Малую медведицу и Полярную звезду, по которой моряки ориентировались в море, доказал равенство вертикальных углов, второй признак равенства треугольников, теорему о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника. Кто этот математик?

Ответ : Это один из древнегреческих математиков VI–VII вв. до н. э. Фалес Милетский.

Вопрос 2. Однажды французам удалось перехватить приказы испанского правительства своих войск, написанные очень сложной тайнописью. Вызванный математик сумел найти ключ к этому шифру. С тех пор французы знали планы испанцев и с успехом предупреждали их наступление. Инквизиция обвинила математика в том, что он прибегнул к помощи дьявола, и приговорила к сожжению на костре. Он не был выдан инквизиции.

Ответ: Французский математик Франсуа Виет, XVI в.

Вопрос 3. У этого крупнейшего математика XIX века рано появились математические дарования. Рассказывают, что в 3-хлетнем возрасте он заметил ошибку в расчетах отца. В первом классе учитель математики предложил ученикам сложить числа от 1 до 100 включительно. Почти сразу этот математик нашел результат – число 5050. Число было вычислено путем короткого способа сложения, в то время, как остальные складывали числа подряд.

Ответ: К.Гаусс, немецкий математик.

Вопрос 4. В своих 13 книгах под названием “Начала” он систематизировал основные в то время геометрические знания. Когда царь Пталомей спросил его, нет ли более короткого пути для изучения геометрии, математик с гордостью ответил: “В геометрии нет царской дороги”.

Ответ: Евклид, древнегреч. геометр, III век до н. э.

Вопрос 5. В его школе утверждалось: “Числа правят миром. На них основана гармония Вселенной. Он составил подробный список табу для членов своего ордена. Вот некоторые из них:

• воздерживайся от употребления в пищу бобов;
• не поднимай то, что упало;
• не прикасайся к белому петуху;
• не откусывай от целой булки;
• не ходи по большой дороге и др.”.

Ответ: древнегреческий философ Пифагор, VI век – начало V в. до н.э.

Вопрос 6. Этот математик древности погиб от меча римского солдата, гордо воскликнув: “Отойди, не трогай моих чертежей!” Он впервые доказал формулу Герона.

Ответ : Древнегреческий ученый, математик Архимед.

Вопросы на математическую логику: (4 шт.) (8 мин.)

Ведущий ІІ. “Умение мыслить логически – одна из благороднейших способностей человека”. Это слова английского писателя-романиста Бернарда Шоу. Но приобрести это умение нелегко. Поэтому, подбить двухпалубный корабль, пожалуй, сложнее, чем любой другой. Поскольку для этого необходимо решать логические задачи. (Слайды)

Вопрос 1. Запишите пятью двойками число 28. (22 + 2 + 2 + 2 = 28)

Вопрос 2. Комната имеет форму квадрата. Вдоль стен нужно расставить 7 стульев так, чтобы количество стульев, стоящих вдоль каждой стены, было одинаковым. Нарисуйте, как это сделать. (Один стул должен находиться в углу)

Вопрос 3. Крестьянину нужно перевезти через реку волка, козу и капусту. В лодке может поместиться человек, а с ним или волк, или коза, или капуста. Но если оставить волка с козой, без человека, то волк съест козу, если оставить козу и капусту, то коза съест капусту. В присутствии человека никто никого не съест. Как перевезти груз?

1) перевезти козу;
2) приехать обратно;
3) взять волка (капусту);
4) обратно перевезти козу;
5) перевезти капусту (волка);
6) приехать обратно;
7) перевезти козу.

Вопрос 4. У трех подружек – Дроздовой, Чижовой и Скворцовой – живут дрозд, чиж и скворец. При этом ни у одной из них не живет птица, соответствующая фамилии хозяйки. “Как хорошо поет твой дрозд!” – сказала Скворцова подруге. У какой из подружек, какая птица живет?

	Скворцова	Дроздова	Чижова
скворец	–	+	–
дрозд	–	–	+
чиж	+	–	–

Задания “Вычисли!” (2 шт.) (8 мин.)

Ведущий ІІ. Чтобы подбить 1-палубный корабль нужно выполнить нехитрые вычисления. Но предварительно необходимо записать пример в современном виде.

Вопрос 1. “Не все знают, что символ “”, который мы используем для извлечения корней, это видоизменение латинской буквы r , которая стоит в начале латинского слова radix, означающим корень. Было время (16 в.), когда знаком корня служила не строчная, а прописная буква R , а рядом с ней ставилась первая буква латинских слов “квадратный” (q ) или “кубический” (с ), чтобы указать, какой именно корень требуется извлечь”. Например, писали R.q.16 вместо . “Если прибавить к этому, что в ту эпоху еще не вошли в общее употребление нынешние знаки плюса и минуса, а вместо них писали буквы р. и m., и что наши скобки заменяли знаками , то станет ясно, какой необычный для современного глаза вид должны были бы иметь тогда алгебраические выражения”. Используя таблицу для перевода старинных символов в современные, а также свои знания по математике, вычислите пример, записанный на доске. (Слайд)

Ответ : = 5 (слайд)

Вопрос 2. “Современные меры длины – метр, сантиметр и другие – существовали не всегда. До введения в 1925 году метрической системы мер и международной системы единиц, в России действовали другие меры длины, которые постоянно встречаются в произведениях русской литературы. Например, мера вершка приблизительно равна 4,45 см.

Первые единицы длины, как в России, так и в других странах были связаны с размерами частей тела человека. Таковы “пядь”, “сажень” и “локоть”.

Пядь равнялась расстоянию между концами растянутых большого и указательного пальца. Пядь принималась за 4 вершка. Очень широко была распространена такая мера длины, как аршин, равный 16 вершкам или примерно 71см. Это слово пошло от восточных купцов и с татарского переводится как “локоть”. Сейчас ткань в магазинах измеряют метровой линейкой, а раньше измеряли линейкой длиной в аршин. Такая линейка тоже называлась аршином. Часто в литературе встречается слово “сажень”. Она равна 3 аршинам или приблизительно 2,13 м. Для измерения больших расстояний использовали версту – это самая крупная русская мера длины. Верста составляет 500 саженей или приблизительно 1.06 км”. (Слайд).

Вам сейчас предстоит решить задачу. В цитате литературного произведения с указанием старинных мер длины нужно выполнить перевод в современные единицы измерения и ответить на вопрос задачи.

Время выполнения задания – 2 мин. Ответ можно округлить с точностью до единиц. (Команде дается листочек с заданием .)

С каждой минутой вода подбиралась
К бедным зверькам: уж под ними осталось…
Меньше аршина земли в ширину,
Меньше сажени в длину.
(Некрасов, “Дедушка Мазай и зайцы”)

Вопрос: определите площадь и периметр островка, предварительно выразив величины в метрах.

Ответ: 0,71 х 2,1 м, т.е. S 1,5 м 2 , P 5,6 м.

5. Подведение итогов, награждение – 2 мин.

Для подведения итогов удобно использовать таблицы, которые в течение игры заполняются каждым из членов жюри. Приложение 4 .

Литература Власова Т.Г . Предметная неделя математики в школе: Кн. Для учителя, – Ростов н/Д.: Феникс, 2007.

Рыбников К.А. Возникновение и развитие математической науки: Кн. для учителя, – М.: Просвещение, 1987.

Глейзер Г.И. История математики в школе. Пособие для учителей, – М.: “Просвещение”, 1982.

Перельман Я.И. Занимательная алгебра. АО “СТОЛЕТИЕ”,1994.

Приложение к газете 1 сентября “Математика”, 2005–2011.

На занятиях в малой академии «Юниор» мне предложили узнать, что изучает геометрия и как часто в повседневной жизни мы с ней встречаемся.

Я прочитал учебник по геометрии, энциклопедию, ознакомился с определениями геометрических фигур, присмотрелся к окружающим меня предметам и понял, что с геометрией мы встречаемся на каждом шагу, иногда даже не задумываясь об этом. Это наблюдение мне показалось очень интересным, и я стал более подробно исследовать эту тему.

Я поставил себе цель: выяснить, как часто человек встречается с геометрией в окружающем нас мире и какие геометрические фигуры встречаются чаще других.

Этапы исследования:

Первый этап исследования- геометрия в моей квартире.

Второй этап исследования- геометрия на моем пути из дома до лицея.

Третий этап исследования- геометрия в лицее.

Четвертый этап- геометрия в макро-микромире.

Что изучает геометрия?

Геометрия возникла очень давно, это одна из самых древних наук. В переводе с греческого слово «геометрия» означает «землемерие» («гео»- по-гречески земля, а «метрио»- мерить).

Такое название объясняется тем, что зарождение геометрии было связано с различными измерительными работами, которые приходилось выполнять при разметке земельных участков, проведении дорог, строительстве зданий и других сооружений. В результате этой деятельности появились и постепенно накапливались различные правила, связанные с геометрическими измерениями и построениями.

Геометрия возникла на основе практической деятельности человека и служила практическим целям. В дальнейшем геометрия сформировалась как самостоятельная наука, занимающаяся изучением геометрических фигур.

Геометрические фигуры весьма разнообразны. Мы знаем, что такое точка, прямая, отрезок, луч, угол.

Мы знакомы с треугольником, прямоугольником, кругом и другими фигурами.

Геометрия, которая изучается в школе, называется евклидовой по имени древнегреческого ученого Евклида, создавшего руководство по математике под названием «НАЧАЛО». В течении долгого времени геометрию изучали по этой книге.

Геометрию можно разделить на две части: планиметрию и стереометрию.

В планиметрии рассматриваются фигуры на плоскости. Примерами таких фигур являются отрезки, треугольники, прямоугольники.

В стереометрии изучаются свойства фигур в пространстве, таких как шар, цилиндр.

Геометрия у нас дома.

Все предметы в нашем доме напоминают различные геометрические фигуры. Рассмотрим и опишем некоторые из них.

Например, глобус – он напоминает шар. Научное определение шара следующее: Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки. Эта точка называется центром шара, а данное расстояние радиусом шара.

Глобус, как известно является макетом земного шара. И так же как земной шар глобус может вращаться вокруг своей оси.

Шар, так же как цилиндр и конус, является телом вращения. Он получается при вращении полукруга вокруг его диаметра как оси.

Толстая книга похожа на параллелепипед. Потому, что как и у параллелепипеда все противолежащие грани и стороны у неё параллельны. Банка консервов на кухне имеет форму цилиндра. И действительно – у неё имеется два круга, лежащие в параллельных плоскостях и стенка, которую можно представить как множество отрезков, соединяющих соответствующие точки на этих кругах. Шкафы, полки и тумбочки это то же параллелепипеды. Двери имеют форму прямоугольников. Стены, потолок, окна так же напоминают прямоугольники.

Некоторые предметы имеют форму более сложных фигур – например, угловая полукруглая тумбочка напоминает сектор круга. Если посмотреть на неё сверху – мы видим два отрезка, являющихся радиусами и дугу окружности, соединяющей концы этих радиусов.

Цветочный горшок на окне напоминает усечённый конус, потому, что его можно представить как круг, соединённый множеством отрезков с какой то точкой, не лежащей в данном круге, а усечённый он, потому что вершина конуса отсутствует, она как будто срезана плоскостью. Другой цветочный горшок имеет форму полусферы. Если сложить вместе два таких горшка -получится сфера (поверхность шара)

Если посмотреть на изгиб шторы на окне мы увидим, что он описывает кривую линию, которую называют синусоида.

В числе всего разнообразия предметов, имеющих сходство с какими либо геометрическими фигурами у нас дома преобладают отрезки и фигуры прямоугольной формы.

Геометрия на моём пути от дома до лицея.

На улице мы видим предметы, изготовленные человеком и предметы природного происхождения. Например: жилой дом, построенный человеком. Это параллелепипед.

Фонарные столбы вдоль дороги напоминают отрезки прямой.

Крыша трансформаторной подстанции это треугольная призма. У неё есть две треугольные стороны, лежащие в параллельных плоскостях и боковые поверхности, которые и образуют призму.

А трамвайные рельсы можно представить как параллельные прямые. Троллейбусные провода тоже представляют собой параллельные прямые.

Объект природного происхождения - русло реки. Его можно представить как кривую линию.

Геометрия в лицее.

В лицее мы находим преобладание прямоугольных фигур, различных отрезков и плоскостей.

Башня лицея с винтовой лестницей внутри напоминает цилиндр. Вершина башни напоминает конус.

Форма самой винтовой лестницы это геликс, такая трёхмерная спираль, имеющая постоянный радиус.

Цилиндрами являются так же колонны на входе в лицей. Ступени в холле имеют форму трапеции. У них две стороны параллельны и являются основаниями трапеции а две другие это стороны трапеции.

Ступени на лестницах, дверные проёмы, стены коридоров и классов напоминают прямоугольники.

В лицее при всём многообразии предметов преобладают прямолинейные и прямоугольные формы.

Геометрия под микроскопом.

Так как предметы, которые нас окружают, могут быть очень малы, прибегнем к помощи микроскопа и рассмотрим кристаллы поваренной соли и сахара.

Крупинка соли при увеличении, оказалось, имеет форму куба. А крупинка сахара имеет форму прямоугольника, причём прямоугольники эти иногда оказываются срощенными в одну фигуру, неправильной формы.

Геометрия в космосе.

Поиск геометрических фигур в предметах, которые нас окружают, был бы не полным, если бы мы не обратились к космическим объектам и не определили, форму каких фигур они имеют. Рассмотрим форму планет, звёзд, галактик и траектории их движения в пространстве.

Имеют шарообразную форму. Доказано, что все планеты солнечной системы своей формой напоминают шар.

Являясь космическими объектами, звёзды, так же как и планеты имеют форму шара. Солнце напоминает огромный шар.

Галактики:

Учёные установили, что галактики очень часто имеют форму геометрической фигуры, которая называется спираль.

Орбиты планет:

Планеты движутся вокруг солнца по траекториям, имеющим форму эллипса. Известно, что смена времён года на Земле происходит именно потому, что орбита Земли – эллипс.

Вывод: в космическом пространстве находятся объекты только круглой или другой криволинейной формы и отсутствуют прямолинейные объекты.

Вокруг нас находится большое количество объектов, имеющих форму различных геометрических фигур. При этом фигуры, имеющие прямолинейные элементы, углы, отрезки и плоскости являются объектами искусственного происхождения и изготовлены человеком. Предметы природного происхождения имеют округлые формы, такие как шар, эллипс, дуга. Исключение составляют кристаллы, которые имеют прямоугольные формы.

"Основные понятия и аксиомы стереометрии. Параллельность прямых и плоскостей"

Стереометрия - это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве.

Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «στερεοσ» - объемный, пространственный и «μετρεο» - измерять.

Простейшие фигуры в пространстве: точка, прямая, плоскость.

Плоскость. Представление о плоскости дает гладкая поверхность стола или стены. Плоскость как геометрическую фигуру следует представлять себе простирающейся неограниченно во все стороны.
На рисунках плоскости изображаются в виде параллелограмма или в виде произвольной области и обозначаются греческими буквами α, β, γ и т.д. Точки А и В лежат в плоскости β (плоскость β проходит через эти точки), а точки M, N, P не лежат в этой плоскости. Коротко это записывают так: А ∈ β, B ∈ β,

Аксиомы стереометрии и их следствия

Аксиома 1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
Аксиома 2 . Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. (Прямая лежит на плоскости или плоскость проходит через прямую).
Из аксиомы 2 следует, что если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.
Аксиома 3. В таком случае говорят, плоскости пересекаются по прямой. Пример: пересечение двух смежных стен, стены и потолка комнаты.

Некоторые следствия из аксиом

Теорема 1. Через прямую a и не лежащую на ней точку А проходит плоскость, и притом только одна.
Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые a и b проходит плоскость, и при том только одна.

Параллельные прямые в пространстве

Две прямые в пространстве называются параллельными , если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Теорема о параллельных прямых. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.
Лемма о пересечении плоскости параллельными прямыми. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
Теорема о трех прямых в пространстве. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны (если a ∥c и b ∥c , то a ∥b ).

Параллельность прямой и плоскости

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Признак параллельности прямой и плоскости Теорема. Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.
Теорема. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Теорема. Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Взаимное расположение прямых в пространстве

Пересекающиеся прямые: лежат в одной плоскости, имеют одну общую точку.	Параллельные прямые: лежат в одной плоскости, не имеют общих точек (не пересекаются)	Скрещивающиеся прямые: не лежат в одной плоскости, не имеют общих точек (не пересекаются)

Стереометрия

Стереометрия (от др.-греч. στερεός, «стереос» - «твёрдый, объёмный, пространственный» и μετρέω, «метрео» - «измеряю») - раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Основными (простейшими) фигурами в пространстве являются точки, прямые и плоскости. В стереометрии появляется новый вид взаимного расположения прямых: скрещивающиеся прямые. Это одно из немногих существенных отличий стереометрии от планиметрии, так как во многих случаях задачи по стереометрии решаются путём рассмотрения различных плоскостей, в которых выполняются планиметрические законы.

Не стоит путать этот раздел с планиметрией, поскольку в планиметрии изучаются свойства фигур на плоскости (свойства плоских фигур), а в стереометрии - свойства фигур в пространстве (свойства пространственных фигур).

Аксиомы стереометрии

• На каждой прямой и в каждой плоскости имеются по крайней мере две точки.
• В пространстве существуют плоскости. В каждой плоскости пространства выполняются все аксиомы планиметрии.
• Через любые три точки, не принадлежащие одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.
• Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.
• Если две точки прямой лежат на одной плоскости, то все точки данной прямой лежат в этой плоскости.
• Если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
• Любая плоскость α разбивает множество не принадлежащих ей точек пространства на два непустых множества так, что:
  1. любые две точки, принадлежащие разным множествам, разделены плоскостью α;
  2. любые две точки, принадлежащие одному и тому же множеству, не разделены плоскостью α.
• Расстояние между любыми двумя точками пространства одно и то же на любой плоскости, содержащей эти точки.

Многогранник

Многогранник представляет собой тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. Эти многоугольники называются гранями многогранника, а стороны и вершины многоугольников называются соответственно ребрами и вершинами многогранника. Многогранники могут быть выпуклыми и невыпуклыми. Выпуклый многогранник расположен по одну сторону относительно плоскости, проходящей через любую его грань.

Литература

• В. В. Прасолов, И. Ф. Шарыгин. Задачи по стереометрии. - М.: Наука, 1989.
• И. Ф. Шарыгин. Задачи по геометрии (стереометрия). М.: Наука, 1984. - 160 с. (Библиотечка «Квант», Выпуск 31).

Разделы математики Анализ Классический анализ Теория функций Дифференциальные и
интегральные уравнения Геометрия и топология Геометрия Топология Дискретная математика

• Портал «Математика»
• Категория «Математика»

Какие основные понятия и аксиомы стереометрии

Грустный мир

А1. Через любые три точки не лежащие на одной прямой проходит плоскость и проитом тока одна.
А2 Если 2 точ прямой лежат в плоскости то все точ. этой прямой лежат в плоскости.
А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общию прямую на которой лежать все общие точки.

Следствия:
1. Через прямую и нележащию на ней точку проходит одна плоскость.
2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом тока одна.

Юрий малихов

Тут нужно уточнить. Любое из этих трех высказываний можно взять исходно за аксиому. Тогда остальные два будут теоремами, доказываемыми на основе взятой аксиомы:
1. Через любые три точки не лежащие на одной прямой проходит плоскость и притом тока одна.
2. Через прямую и нележащию на ней точку проходит одна плоскость.
3. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом тока одна.

Алексей рябчиков

В планиметрии основными фигурами были точки и прямые. В стереометрии наряду с ними рассматривается еще одна основная фигура - плоскость. Представление о плоскости дает гладкая поверхность стола или стены. Плоскость как геометрическую фигуру следует представлять себе простирающейся неограниченно во все стороны.
Как и ранее, точки будем обозначать прописными латинскими буквами А, В, С и т. д., а прямые - строчными латинскими буквами а, Ь, с И т. д. или двумя прописными латинскими буквами АВ, CD и т. д. Плоскости будем обозначать греческими буквами а, Р, Y и т. д. На рисунках плоскости изображаются в виде параллелограмма или в виде произвольной области.
Основные свойства точек, прямых и плоскостей, касающиеся их взаимного расположения, выражены в аксиомах. Вся система аксиом стереометрии состоит из ряда аксиом, большая часть которых нам знакома по курсу планиметрии. Мы сформулируем лишь три аксиомы о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве. Ниже они обозначены А:, А1, А2. A3.
А1: Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
Плоскость, проходящую через точки А, В и С, не лежащие на одной прямой, иногда называют плоскостью ABC. Отметим, что если взять не три, а четыре произвольные точки, то через них может не проходить ни одна плоскость. Иначе говоря, четыре точки могут не лежать в одной плоскости. Каждый знаком с таким наглядным подтверждением этого факта: если ножки стула не одинаковые по длине, то стул стоит на трех ножках, т. е. опирается на три "точки", а конец четвертой ножки (четвертая "точка") не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.
А2: Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.
В таком случае говорят, что прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую.
Свойство, выраженное в аксиоме А2, используется для проверки "ровности" чертежной линейки. С этой целью линейку прикладывают краем к плоской поверхности стола. Если край линейки ровный (прямолинейный), то он всеми своими точками прилегает к поверхности стола. Если край неровный, то в каких-то местах между ним и поверхностью стола образуется просвет."
Из аксиомы А2 следует, что если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.
А3: Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
В таком случае говорят, что плоскости пересекаются по прямой. Наглядной иллюстрацией аксиомы А3 является пересечение двух смежных стен, стены и потолка классной комнаты.

Элементы треугольника Так же в треугольнике рассматривают другие отрезки: Медианы (отрезки, соединяющие вершины треугольника с серединами противоположных сторон.) Биссектрисы (отрезки, заключенные внутри треугольника, которые делят пополам его углы) Высоты (перпендикуляры, опущенные из вершин треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону)

Теоремы равнобедренного треугольника В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Используемая литература: Учебник «Геометрия» 7-9 класс / Л.С.Атанасян-издательство «Просвещение», 2007год Учебник «Геометрия» 7-9 класс / Л.С.Атанасян-издательство «Просвещение», 2007год Энциклопедия для детей.Т.11.Математика / Глав.ред. М.Д.Аксёнова-М.: Аванта+,1998год. Энциклопедия для детей.Т.11.Математика / Глав.ред. М.Д.Аксёнова-М.: Аванта+,1998год.