Это четырёхугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.
Свойство 1 . Любая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
Доказательство . По II признаку (накрест лежащие углы и общая сторона).
Теорема доказана .
Свойство 2 . В параллелограмме противолежащие стороны равны, противолежащие углы равны.
Доказательство
.
Аналогично,
Теорема доказана .
Свойство 3. В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Доказательство .
Теорема доказана .
Свойство 4 . Биссектриса угла параллелограмма, пересекая противоположную сторону, делит его на равнобедренный треугольник и трапецию. (Ч. сл. - вершину - два равнобедренных?-ка).
Доказательство
.
Теорема доказана .
Свойство 5 . В параллелограмме отрезок с концами на противоположных сторонах, проходящий через точку пересечения диагоналей, делится этой точкой пополам.
Доказательство .
Теорема доказана .
Свойство 6 . Угол между высотами, опущенными из вершины тупого угла параллелограмма, равен острому углу параллелограмма.
Доказательство .
Теорема доказана .
Свойство 7 . Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°.
Доказательство .
Теорема доказана .
Построение биссектрисы угла. Свойства биссектрисы угла треугольника.
1) Построить произвольный луч DE.
2) На данном луче построить произвольную окружность с центром в вершине и такую же
с центром в начале построенного луча.
3) F и G - точки пересечения окружности со сторонами данного угла, H - точка пересечения окружности с построенным лучом
Построить окружность с центром в точке H и радиусом, равным FG.
5) I - точка пересечения окружностей построенного луча.
6) Провести прямую через вершину и I.
IDH - требуемый угол.
)
Свойство 1 . Биссектриса угла треугольника разбивает противоположную сторону пропорционально прилежащим сторонам.
Доказательство . Пусть x, y-отрезки стороны c. Продолжим луч BC. На луче BC отложим от C отрезок CK, равный AC.
Параллелограмм – это четырехугольник, у которого стороны попарно параллельны.
В этой фигуре противоположные стороны и углы равны между собой. Диагонали параллелограмма пересекаются в одной точке и делятся ей пополам. Формулы площади параллелограмма позволяют найти значение через стороны, высоту и диагонали. Параллелограмм также может быть представлен в частных случаях. Ими считаются прямоугольник, квадрат и ромб.
Для начала рассмотрим пример расчета площади параллелограмма по высоте и стороне, к которой она опущена.
Этот случай считается классическим и не требует дополнительного разбирательства. Лучше рассмотрим формулу вычисления площади через две стороны и угол между ними. Этот же способ применяется в расчете . Если даны стороны и угол между ними, то площадь рассчитывается так:
Допустим, дан параллелограмм со сторонами a
= 4 см, b
= 6 см. Угол между ними α
= 30°. Найдем площадь:
Формула площади параллелограмма через диагонали позволяет быстро найти значение.
Для вычислений понадобится величина угла, расположенного между диагоналями.
Рассмотрим пример расчета площади параллелограмма через диагонали. Пусть дан параллелограмм с диагоналями D
= 7 см, d
= 5 см. Угол, лежащий между ними α
=30°. Подставим данные в формулу:
Пример расчета площади параллелограмма через диагональ дал нам прекрасный результат – 8,75.
Зная формулу площади параллелограмма через диагональ можно решать множество интересных задач. Давайте рассмотрим одну из них.
Задача:
Дан параллелограмм с площадью 92 кв. см. Точка F
расположена на середине его стороны ВС
. Давайте найдем площадь трапеции ADFB
, которая будет лежать в нашем параллелограмме. Для начала нарисуем все, что получили по условиям.
Приступаем к решению:
По нашим условиям ah
=92, а соответственно, площадь нашей трапеции будет равняться
Доказательство
Первым делом проведем диагональ AC . Получаются два треугольника: ABC и ADC .
Так как ABCD — параллелограмм, то справедливо следующее:
AD || BC \Rightarrow \angle 1 = \angle 2 как лежащие накрест.
AB || CD \Rightarrow \angle3 = \angle 4 как лежащие накрест.
Следовательно, \triangle ABC = \triangle ADC (по второму признаку: и AC — общая).
И, значит, \triangle ABC = \triangle ADC , то AB = CD и AD = BC .
Доказано!
2. Противоположные углы тождественны.
Доказательство
Согласно доказательству свойства 1 мы знаем, что \angle 1 = \angle 2, \angle 3 = \angle 4 . Таким образом сумма противоположных углов равна: \angle 1 + \angle 3 = \angle 2 + \angle 4 . Учитывая, что \triangle ABC = \triangle ADC получаем \angle A = \angle C , \angle B = \angle D .
Доказано!
3. Диагонали разделены пополам точкой пересечения.
Доказательство
Проведем еще одну диагональ.
По свойству 1 мы знаем, что противоположные стороны тождественны: AB = CD . Еще раз отметим накрест лежащие равные углы.
Таким образом видно, что \triangle AOB = \triangle COD по второму признаку равенства треугольников (два угла и сторона между ними). То есть, BO = OD (напротив углов \angle 2 и \angle 1 ) и AO = OC (напротив углов \angle 3 и \angle 4 соответственно).
Доказано!
Если лишь один признак в вашей задаче присутствует, то фигура является параллелограммом и можно использовать, все свойства данной фигуры.
Для лучшего запоминания, заметим, что признак параллелограмма будет отвечать на следующий вопрос — «как узнать?» . То есть, как узнать, что заданная фигура это параллелограмм.
1. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого две стороны равны и параллельны.
AB = CD ; AB || CD \Rightarrow ABCD — параллелограмм.
Доказательство
Рассмотрим подробнее. Почему AD || BC ?
\triangle ABC = \triangle ADC по свойству 1 : AB = CD , AC — общая и \angle 1 = \angle 2 как накрест лежащие при параллельных AB и CD и секущей AC .
Но если \triangle ABC = \triangle ADC , то \angle 3 = \angle 4 (лежат напротив AB и CD соответственно). И следовательно AD || BC (\angle 3 и \angle 4 - накрест лежащие тоже равны).
Первый признак верен.
2. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого противоположные стороны равны.
AB = CD , AD = BC \Rightarrow ABCD — параллелограмм.
Доказательство
Рассмотрим данный признак. Еще раз проведем диагональ AC .
По свойству 1 \triangle ABC = \triangle ACD .
Из этого следует, что: \angle 1 = \angle 2 \Rightarrow AD || BC и \angle 3 = \angle 4 \Rightarrow AB || CD , то есть ABCD — параллелограмм.
Второй признак верен.
3. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого противоположные углы равны.
\angle A = \angle C , \angle B = \angle D \Rightarrow ABCD — параллелограмм.
Доказательство
2 \alpha + 2 \beta = 360^{\circ} (поскольку ABCD — четырехугольник, а \angle A = \angle C , \angle B = \angle D по условию).
Получается, \alpha + \beta = 180^{\circ} . Но \alpha и \beta являются внутренними односторонними при секущей AB .
И то, что \alpha + \beta = 180^{\circ} говорит и о том, что AD || BC .
При этом \alpha и \beta — внутренние односторонние при секущей AD . И это значит AB || CD .
Третий признак верен.
4. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого диагонали разделены точкой пересечения пополам.
AO = OC ; BO = OD \Rightarrow параллелограмм.
Доказательство
BO = OD ; AO = OC , \angle 1 = \angle 2 как вертикальные \Rightarrow \triangle AOB = \triangle COD , \Rightarrow \angle 3 = \angle 4 , и \Rightarrow AB || CD .
Аналогично BO = OD ; AO = OC , \angle 5 = \angle 6 \Rightarrow \triangle AOD = \triangle BOC \Rightarrow \angle 7 = \angle 8 , и \Rightarrow AD || BC .
Четвертый признак верен.
У которого противоположные стороны параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник , квадрат и ромб .
Четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий (в этом случае выполняются и все остальные):
Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту:
, где - сторона, - высота, проведенная к этой стороне.
Площадь параллелограмма равна произведению его сторон на синус угла между ними:
, где и - стороны, а - угол между сторонами a и b.
|
ortait.ru - Кредиты для юридических лиц. Закрытие. Кредитные карты. Ипотека. Займы. Под залог